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Mathematik

Volumen einer Pyramide bestimmen - dreidimensionale Geometrie

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VOLUMEN EINER PYRAMIDE

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Das Volumen einer Pyramide mit Grundfläche

G

und Höhe

h

ist gegeben durch:

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Ist eine (dreiseitige) Pyramide durch die Vektoren

\vec{a}

\vec{b}

und

\vec{c}

festgelegt, so kann das Volumen über das Spatprodukt bestimmt werden:

V = \frac{1}{6} | (\vec{a} \times \vec{b}) \circ \vec{c} |

(Die Reihenfolge der Vektoren innerhalb der Formel ist irrelevant.)

Um das Volumen einer Pyramide

A B C D S

mit Grundfläche

A B C D

und Spitze

S

zu bestimmen, kann nach folgendem Schema vorgegangen werden:

Flächeninhalt $G$ der Grundfläche $A B C D$ bestimmen: $G = | \vec{A B} \times \vec{A D} |$
Höhe h der Pyramide bestimmen: h=d( S,EABCD )
1. Ebene $E_{A B C D}$ in Normalenform bilden
2. Hesse-Normalenform der Ebene $E_{A B C D}$ bilden
3. Abstand $S$ zur Ebene $A B C D$ berechnen (Abstand Punkt Ebene)
Volumen der Pyramide bestimmen über $V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h$