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Mathematik

Ebene in Parameterform aufstellen

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MATHEMATIK-ÜBUNGEN ZU

EBENEN IN PARAMETERFORM

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Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:

Ebenengleichung in Parameterform aufstellen
Ebene aus zwei parallelen Geraden
Ebene aus zwei sich schneidenden Geraden
Ebene aus 3 Punkten
Ebene aus Punkt und Gerade
Koordinatenform in Parameterform umwandeln
Gleichung einer skizzierten Ebene in Parameterform

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KURZ ERKLÄRT
EBENEN IN PARAMETERFORM

Die Punkte auf einer Ebene in Parameterform werden durch die Gleichung

E : \vec{X} = \vec{P} + λ \cdot \vec{u} + μ \cdot \vec{v}

beschrieben.

\vec{X}

steht stellvertretend für alle Punkte auf der Ebene.

\vec{P}

ist der Ortsvektor des Aufpunkts.

\vec{u}

und

\vec{v}

sind die Richtungsvektoren.

λ

und

μ

sind beliebige Faktoren (eine Zahl).

Beispiel:

Die Gleichung einer Ebene

E

mit Richtungsvektoren

\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

und

\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})

und Aufpunkt

P (1 ∣ 2 ∣ 3)

lautet z. B.

E : \vec{X} = \underset{\vec{P}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})}} + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}} + μ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})}}

Die Ebenengleichung ist nicht eindeutig definiert, d. h. es gibt noch andere Gleichungen, die dieselbe Ebene beschreiben. Das liegt daran, dass jeder Punkt aus der Ebene als Aufpunkt der Ebenengleichung gewählt werden kann und verschiedenste Vektoren, die in der Ebene liegen zur Bildung des Normalenvektors verwendet werden können.

Im obigen Beispiel ist z. B. für

λ = 1

und

μ = 1

der Vektor

1 \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}} + 1 \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array})}} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})

ein weiterer Richtungsvektor der Ebene

E

Wann bilden Punkte und Geraden eine Ebene?

Eine Ebene (nicht ihre Gleichung) ist jedoch eindeutig definiert, wenn Folgendes gegeben ist:

drei Punkte, die nicht auf einer Gerade liegen
ein Punkt und eine Gerade, die nicht durch den Punkt verläuft
zwei parallele Geraden
zwei sich schneidenden Geraden

Zwei windschiefe Geraden bilden z. B. keine Ebene.

Ebene in Parameterform aus 3 Punkten

Gegeben:

A (1 ∣ 2 ∣ 3)

B (2 ∣ 2 ∣ 4)

und

C (3 ∣ 1 ∣ 3)

\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

\vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})

E : \vec{X} = \underset{\vec{A}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})}} + λ \cdot \underset{\vec{A B}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}} + μ \cdot \underset{\vec{A C}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ - 1 \\ 0 \end{array})}}

Ebene in Parameterform aus Punkt und Gerade

Gegeben:

Q (1 ∣ - 4 ∣ 3)

g : \vec{X} = \underset{\vec{P}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})}} + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Verbindungsvektor zwischen dem Punkt

Q

und dem Aufpunkt

P

der Geraden

g

\vec{v} = (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ 3 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ - 6 \\ 2 \end{array})

Richtungsvektor der Geraden

g

\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

E : \vec{X} = \underset{\vec{P}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array})}} + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}} + μ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ - 6 \\ 2 \end{array})}}

Ebene in Parameterform aus 2 parallelen Geraden

Gegeben

g

und

h

g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

h : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot (\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{array})

Verbindungsvektor zwischen den Aufpunkten der Geraden:

\vec{v} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - 2 \end{array})

Richtungsvektor der Geraden

g

\vec{u} = (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}} + μ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 0 \\ 0 \\ - 2 \end{array})}}

Ebene in Parameterform aus 2 sich schneidenden Geraden

Gegeben

g

und

h

g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}}

h : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 3 \end{array}) + λ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})}}

E : \vec{X} = (\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}) + λ \cdot \underset{\vec{u}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})}} + μ \cdot \underset{\vec{v}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array})}}

(Der Schnittpunkt muss nicht berechnet werden!)

SO FUNKTIONIERT UNTERRICHT.DE

Übungsaufgaben zu Ebenen in Parameterform

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Die Ebene in Parameterform - Unterrichtsstunde

Ebene aus zwei Geraden - Unterrichtsstunde

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