Geraden im Raum, Geradengleichung dreidimensionale Geometrie

$$
Die Punkte auf einer Geraden im Raum werden durch die Gleichung


beschrieben.

${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist der Name der Gerade.
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ steht stellvertretend für alle Punkte auf der Geraden.
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist der Ortsvektor des Aufpunkts.
${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ ist der Richtungsvektor.
${\displaystyle \mathit{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ ist ein beliebiger Faktor (eine Zahl)

Beispiel: ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:\overrightarrow{\mathrm{X<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\underset{\overrightarrow{\mathrm{P<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)}}+\mathit{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \underset{\overrightarrow{\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 2\end{array}\right)}}}$

Wie stellt man die Geradegleichung einer Gerade durch zwei Punkte auf?

Gegeben: 2 Punkte ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Aus den beiden Ortsvektoren ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ und ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ bildet man den Richtungsvektor ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$:

Die beiden Vektoren ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ (Ortsvektor des Aufpunkts) und ${\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{B<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ (Richtungsvektor) in die Geradengleichung einsetzen: