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Mathematik

Grenzwert für x gegen eine Zahl - Polstellen und senkrechte Asymptoten

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MATHEMATIK-ÜBUNGEN ZU

GRENZWERTE AN EINER STELLE

kostenloser Kurs

Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:

Grenzwerte an einer Stelle bestimmen
Grenzwert einer gebrochen-rationalen Funktion an einer Definitionslücke
Senkrechten Asymptoten berechnen
Unterschied zwischen Polstelle und hebbare Definitionslücke
Vorzeichenwechsel an einer Polstelle untersuchen
Polstelle und ihre Art am Graphen der Funktion angeben
An der Funktionsgleichung erkennen, ob eine Polstelle mit bzw. ohne Vorzeichenwechsel vorliegt

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KURZ ERKLÄRT
GRENZWERTE AN EINER STELLE

Als Grenzwert einer Funktion an einer Stelle bezeichnet man das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines angegebenen

x

-Werts.

Beispiel:

f (x) = \frac{1}{x - 3}

Graph

G_{f}

der Funktion:

Anschaulich lässt sich erkennen, dass sich der Graph der Funktion an der Stelle

x = 3

besonders verhält.

Nähert man sich dem x-Wert

3

von rechts, so werden die y-Werte der Funktion immer positiver.

Nähert man sich dem x-Wert

3

von links, so werden die y-Werte der Funktion immer negativer.

Dies lässt sich auch mathematisch bestimmen, ohne den Graphen der Funktion vor Augen zu haben:

Hierzu wird der Grenzwert der Funktion an der betreffenden Stelle ermittelt.

Annäherung an

x = 3

"von rechts" (rechtsseitiger Grenzwert):

lim_{x \to 3 +} \frac{1}{\underset{\to 0 +}{\underset{⏟}{(x - 3)}}} = + \infty

Setzt man in die Funktionsgleichung Werte für

x

ein, die sich an den Wert

3

"von rechts" nähern (also z.B.

3, 3

;

3, 2

;

3, 1

, etc.), dann nimmt der Nenner

x - 3

immer kleiner werdende positive Werte an, die gegen Null gehen

(" 0 + ")

.

Annäherung an

x = 3

"von links" (linksseitiger Grenzwert):

lim_{x \to 3 -} \frac{1}{\underset{\to 0 -}{\underset{⏟}{(x - 3)}}} = - \infty

Setzt man in die Funktionsgleichung Werte für

x

ein, die sich an den Wert

3

"von links" nähern (also z.B.

2, 7

;

2, 8

;

2, 9

, etc.), dann nimmt der Nenner

x - 3

immer größer werdende negative Werte an, die gegen Null gehen

(" 0 - ")

.

Für die Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion an einer Stelle sollte der Nenner der Funktion immer in faktorisierter Schreibweise (in Linearschreibweise) angegeben werden.

Beispiel:

lim_{x \to 2 +} \frac{1}{(x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2 +} \frac{1}{(x - 2) (x + 2)}

Hierzu werden zunächst die Nullstellen des Nenners ermittelt (meist bereits beim Definitionsbereich bestimmt) anschließend wird der Term in Linearfaktoren angegeben.

Ein Sonderfall liegt vor, wenn eine Nennernullstelle auch eine Zählernullstelle ist.

Beispiel: