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Mathematik

Ebene in Normalenform (Koordinatenform) umwandeln

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MATHEMATIK-ÜBUNGEN ZU

EBENEN IN NORMALENFORM

kostenloser Kurs

Dieser Kurs beinhaltet Aufgaben zu:

Ebenengleichung in Normalenform
Ebenengleichung in Koordinatenform
Ebene in Normalenform aus Punkt und Normalenvektor
Ebene in Normalenform aus Punkt und Gerade
Ebene in Normalenform aus zwei parallelen Geraden
Ebene in Normalenform aus zwei sich schneidenden Geraden
Parameterform in Normalenform umwandeln

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KURZ ERKLÄRT
EBENEN IN NORMALENFORM

Die Punkte auf einer Ebene in Normalenform werden durch folgende Gleichung beschrieben:

E : \vec{X} \circ \vec{n_{E}} = \vec{P} \circ \vec{n_{E}}

\vec{X}

steht stellvertretend für einen Punkt auf der Ebene

\vec{P}

ist der Ortsvektor des Aufpunkts

\vec{n_{E}}

ist der sogenannte Normalenvektor der Ebene

\circ

ist das Symbol für das Skalarprodukt

Der Normalenvektor der Ebene hat die Eigenschaft senkrecht auf der Ebene zu stehen.

Beispiel:

Sei

P (1 ∣ 2 ∣ 3)

der Aufpunkt der Ebene

E

und

\vec{n_{E}} = (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array})

der Normalenvektor der Ebene.

E : \vec{X} \circ \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array})}} = \underset{\vec{P}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})}} \circ \underset{\vec{n_{E}}}{\underset{⏟}{(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array})}}

E : \vec{X} \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = 2 + 6 - 6

E : \vec{X} \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = 2

Ersetzt man

\vec{X}

durch

(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array})

(das sind die allgemeinen Koordinaten eines Punktes der Ebene) und führt das Skalarprodukt auf der linken Seite aus, so erhält man aus der Normalenform die sogenannte Koordinatenform der Ebene

E

E : (\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ - 2 \end{array}) = 2

$E :$ $2$ $x_{1} +$ $3$ $x_{2}$ $- 2$ $x_{3} = 2$

An der Koordinatenform kann man die Koordinaten des Normalenvektors ablesen.

Aus praktischen Gründen wird die Koordinatenform der Normalenform bevorzugt.